HansiHomepage
Der Trick ist nun der: anstatt die Behauptung (es gibt nur endlich viele ...) direkt zu beweisen wird das Gegenteil bewiesen. Das wäre also: Es gibt unendlich viele ....
Das lässt sich mit folgendem "Kochrezept" erledigen:
wähle zwei natürliche Zahlen m und n und setze a := 2mn , b := m2-n2
Nun kommt leider etwas rechnen: mit den gerade definierten Werten a und b erhält man
a2 + b2 = (2mn)2 + (m2-n2)2 = 4m2n2 + m4 - 2m2n2 + n4 = m4 + 2m2n2 + n4 = (m2 + n2)2
Das hat doch die gesuchte Form a2+b2=c2 (mit c = m2 + n2)
Zusammenfassend also: wir haben aus (fast) beliebigen natürlichen Zahlen m und n zwei Zahlen a und b "gekocht", deren Summe der Quadrate wieder ein Quadrat ist. Da die Menge der natürlichen Zahlen unendlich ist, ist auch die Menge der pythagoräischen Zahlen unendlich.
Die Behauptung (es gibt nur endlich viele ...) ist also falsch!